Знакоположительные числовые ряды

Определения

Ряды в текущее время представляют собой особо обширно применяемый математический аппарат для четкого и приближенного решения разных уравнений.

Определение 1. Рядом именуется сумма некой последовательности, другими словами ряд – есть сумма нескончаемого числа членов, любой из которых является элементом данной последовательности.

Ряды бывают 2-ух видов:

1) числовые ряды, если каждый член ряда – число, в данном Знакоположительные числовые ряды случае

,

при этом в правой части записан числовой ряд, в левой части – его сокращенное обозначение, тут значит суммирование членов ряда от первого до сколь угодно огромного, общий ( й) член ряда.

2) многофункциональные ряды, когда каждый член ряда есть функция:

Определение 2. Ряд именуется сходящимся, если его сумма имеет конечное значение Знакоположительные числовые ряды, если сумма ряда не существует, либо равна бесконечности, ряд – расходящийся.

Определение 3. Сумму первых членов ряда именуют частичной суммой ряда .

Разумеется, сумма ряда определяется формулой . Но применение этой формулы связано с большенными, иногда неодолимыми, трудностями. Далековато не всегда удается в малогабаритной форме записать ю частичную сумму ряда, а, как следует, вычислить Знакоположительные числовые ряды ее предел. Почленное суммирование ряда - еще наименее многообещающая процедура, нескончаемое число членов не просуммируешь.

Вследствие этого четкое значение суммы ряда можно установить в очень маленьком числе случаев.

Приведем пример геометрической прогрессии

,

знаменатель которой .

Известна сумма первых членов этого ряда . Вычислим ее предел . Если , то , как следует, . При , и . Ряд расползается Знакоположительные числовые ряды. При ряд также расползается. Итак, подтверждается утверждение, что геометрическая прогрессия сходится при и расползается при .

Почти всегда приходится вычислять суммы рядов приближенно, но для этого следует знать, существует ли конечное значение этой суммы, другими словами сходящийся ли ряд.

Теория рядов, как следует, предназначена для установления сходимости либо расходимости Знакоположительные числовые ряды рядов. По мере надобности сумму сходящегося ряда вычисляют приближенно, расходящиеся ряды практической ценности не представляют.

Числовые ряды

Нужное условие сходимости ряда

Если ряд сходится, то .

Подтверждение. Если ряд сходящийся, существует его конечная сумма , при этом . Вычислим

.

Основное свойство рядов

Если ряд сходящийся, то его остаток , образованный отбрасыванием первых членов ряда, тоже сходится. Если Знакоположительные числовые ряды ряд расходящийся, то его остаток также является расходящимся рядом.

По правде,

.

Если ряд сходится, то существует его конечная сумма , а - всегда конечна как сумма конечного числа членов. Тогда из следует, что конечное число, и остаток ряда – сходится. Когда ряд расходящийся, . Так как сумма ряда в правой части равенства не существует Знакоположительные числовые ряды (ряд расходящийся), а имеет конечное значение, сумма ряда в левой части также не существует.

Перебегаем к рассмотрению личных случаев рядов. Сначала исследуем сходимость числовых рядов.

Знакоположительные числовые ряды

Начнем с теорем сопоставления знакоположительных рядов.

1-ая аксиома сопоставления. Даны два знакоположительных числовых ряда и , при этом . Из сходимости большего ряда Знакоположительные числовые ряды следует сходимость наименьшего ряда. Из расходимости наименьшего ряда следует расходимость большего ряда.

Подтверждение.

1) Пусть ряд сходится, и его сумма конечна. Разглядим частичные суммы обоих рядов и . Потому что члены обоих рядов положительны, при любом имеем , из условия имеем . Разглядим последовательность частичных сумм ряда . Она однообразно увеличивается с ростом Знакоположительные числовые ряды (суммируется все большее число положительных членов). В то же время она ограничена сверху числом . Но имеется аксиома, утверждающая, что однообразно растущая и ограниченная сверху последовательность имеет конечный предел. Итак, , как следует, является суммой ряда .

2) Пусть ряд расползается. Так как все его члены положительны, его сумма равна бесконечности. По условию аксиомы , как Знакоположительные числовые ряды следует, , другими словами при неограниченном возрастании суммы неограниченно вырастает и сумма . Больший ряд также расползается.

2-ая аксиома сопоставления (облегченная постановка). Даны два знакоположительных ряда и , при этом , в данном случае оба ряда ведут себя идиентично: или оба сходятся, или оба расползаются.

Подтверждение. Из следует, что

.

Из записанной формулы следует Знакоположительные числовые ряды, что начиная с и для всех других производится неравенство , из которого имеем , либо .

1)Разглядим правую часть неравенства. Пусть ряд сходится, тогда сходится и его остаток , как следует, сходится и ряд . Так как , из первой части первой аксиомы сопоставления следует сходимость ряда , а, как следует, и самого ряда .

2) Пусть ряд Знакоположительные числовые ряды расползается, тогда расползается и его остаток . Подберем так, чтоб , тогда ряд тоже расползается. Но из левой части приобретенного выше неравенства следует, что , означает, члены ряда больше членов расходящегося ряда, из первой аксиомы сопоставления следует, что ряд расходящийся, расползается и ряд .

Подтверждено, что из сходимости (расходимости) ряда следует сходимость (расходимость) ряда .

Разглядим Знакоположительные числовые ряды сейчас . Разумеется, , другими словами условия только-только доказанной аксиомы выполнены. Но в данном случае можно утверждать, что из сходимости (расходимости) ряда следует сходимость (расходимость) ряда . Итак, ряды при выполнении критерий аксиомы ведут себя идиентично.

Подтверждены две важные аксиомы. Но для сопоставления рядов нужно иметь информацию о сходимости Знакоположительные числовые ряды либо расходимости хотя бы нескольких рядов, с которыми можно было бы ассоциировать другие ряды.

Для этой цели разглядим несколько достаточных критерий, позволяющих изучить сходимость определенных рядов.

Признак Даламбера

сходимости знакоположетельных рядов

Аксиома. Ряд при условии сходится, когда расползается, если признак Даламбера неприменим.

Подтверждение. Если , то

,

откуда следует

1) Для подтверждения первой части аксиомы воспользуемся Знакоположительные числовые ряды правой частью неравенства, записав его в виде , где , . По условию аксиомы . Зададим так малым, чтоб . Тогда

,

,

,

……………………

Разглядим сейчас два ряда

и

.

Нижний ряд представляет собой сходящуюся геометрическую прогрессию, потому что . Члены верхнего ряда меньше соответственных членов нижнего ряда, на основании первой аксиомы сопоставления ряд сходится. Но этот ряд является остатком Знакоположительные числовые ряды рассматриваемого ряда , как следует, он тоже сходится.

2) Для подтверждения 2-ой части аксиомы при воспользуемся приобретенным ранее неравенством, подобрав так, чтоб . Тогда , другими словами положительные члены ряда вырастают с ростом . Разумеется, , но ряд может сходиться исключительно в случае . Ряд расползается.

3) При условии нереально обосновать сходимость, либо расходимость ряда. Как следует, в Знакоположительные числовые ряды данном случае признак Даламбера неприменим.

Рекомендация. Признак Даламбера дает положительный ответ фактически всегда, если общий член ряда содержит показательную функцию либо факториалы.

Пример 1. . Разумеется, . Тогда

. Ряд сходится.

Пример 2. . .

Чтоб решить этот пример, вспомним некие формулы для "факториала" , .

.

Ряд расползается.

Конкретный признак Коши

сходимости знакоположительных рядов

Аксиома. Дан ряд . Если , а , то ряд сходится Знакоположительные числовые ряды, при ряд расползается, при признак не работает.

Подтверждение. Из следует, что

,

другими словами, начиная с некого и для всех следующих , оттуда следует , либо , где , .

1. Докажем справедливость первого утверждения аксиомы. В данном случае , зададим так, чтоб производилось . Из правой части приобретенного двойного неравенства следует, что . Если сопоставить ряды и , то Знакоположительные числовые ряды члены первого ряда меньше соответственных членов второго ряда, являющегося сходящимся как геометрическая прогрессия со знаменателем наименьшим единицы. Из первой аксиомы сопоставления рядов следует, что ряд , другими словами остаток ряда сходится, как следует, сходится и сам ряд.

2. При подтверждении второго утверждения аксиомы учтем, что и зададим так, чтоб . Воспользуемся левой частью Знакоположительные числовые ряды двойного неравенства . Сравним ряд с расходящейся геометрической прогрессией . И так как члены ряда больше соответственных членов расходящейся геометрической прогрессии, он расползается. Потому что этот ряд является остатком ряда , то и сам ряд расползается.

3. При ряд может как сходиться, так и расходиться, как следует, признак неприменим.

Замечание. Конкретный признак комфортно использовать, когда Знакоположительные числовые ряды отлично извлекается корень й степени из общего члена ряда.

Пример 1. . , ряд сходится.

Пример 2. . ,

ряд расползается.

Интегральный признак Маклорена – Коши

сходимости знакоположительных рядов

Аксиома. Знакоположительный ряд сходится (расползается), если сходится (расползается) интеграл , при этом подынтегральная функция выходит из общего члена ряда подменой дискретно меняющейся переменной на действительную переменную .

Подтверждение Знакоположительные числовые ряды.

1) Пусть интеграл - сходится, другими словами воспринимает конечное значение. Разглядим интеграл , его значение дает площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми , , и кривой . Разобьем отрезок на равных частей, длина каждого простого отрезка равна 1. Из точек разбиения восстановим перпендикуляры до скрещения с кривой, длины этих перпендикуляров , где - члены исследуемого ряда, что следует из условия аксиомы. Построим Знакоположительные числовые ряды вписанные в криволинейную трапецию прямоугольники, одна из сторон каждого из их равна 1, другие имеют длины соответственно. Подсчитаем сумму площадей вписанных прямоугольников

,

сумма площадей численно равна й частичной сумме ряда без первого члена. Разглядим последовательность частичных сумм ряда. Она вырастает с ростом величины верхнего предела интеграла, потому что вырастает количество вписанных Знакоположительные числовые ряды прямоугольников. В то же время неважно какая частичная сумма ряда, как уже говорилось выше, совпадающая численно с площадью вписанных прямоугольников, не может превосходить площади криволинейной трапеции, которая сама меньше значения интеграла . Итак, последовательность частичных сумм ряда однообразно растет и ограничена сверху, как следует, она имеет конечный предел Знакоположительные числовые ряды , но это сумма ряда по определению. Означает, ряд сходится.

2) Пусть интеграл расходящийся. Потому что , то . Построим описанные прямоугольники, одна из сторон каждого из их равна 1, другие соответственно . Сумма площадей этих прямоугольников равна и совпадает с частичной суммой ряда. Так как сумма площадей обрисованных прямоугольников больше площади криволинейной трапеции, которая равна Знакоположительные числовые ряды , то и частичные суммы ряда неограниченно растут. Разумеется, . Ряд расползается.

Итак, получен универсальный признак сходимости, который, в отличие от прошлых 2-ух признаков, работает всегда. Но его применение приводит к необходимости исследования сходимости несобственного интеграла, что далековато не просто, ну и не всегда может быть.

Исследуем ряд при помощи интегрального Знакоположительные числовые ряды признака. Для этого нужно изучить сходимость интеграла , что было проделано ранее. Он сходится при и расползается при . И тогда ряд сходится при и расползается при .

Пример 1. . Вычислим интеграл

,

интеграл сходится и ряд тоже.

Пример 2. . Вычислим интеграл

,

интеграл, а совместно с ним ряд сходятся.

Исследование сходимости знакоположительных рядов при помощи МАКСИМЫ

Разглядим ряд Знакоположительные числовые ряды

Так как не производится нужное условие сходимости ряда (предел n - го члена равен бесконечности), он расходящийся.

Разглядим ряд

Так как предел n - го члена равен нулю, ряд может как сходиться, так и расходиться. Применение признака Даламбера дает , что меньше 1, ряд сходится.

Исследуем ряд

Проверка нужного условия указывает, что ряд может Знакоположительные числовые ряды и сходиться, и расходиться. Признак Даламбера дает 1, другими словами не работает. Интегральный признак приводит к сходящемуся интегралу, как следует, ряд сходится.

Примеры для самостоятельного решения

Изучить сходимость рядов, используя аксиомы сопоставления и признаки сходимости

15.1. , 15.2. , 15.3. , 15.4. ,

15.5. , 15.6. , 15.7. , 15.8 ,

15.9. , 15.10. , 15.11. , 15.12. .

Ответы. 15.1. Сходится. 15.2. Сходится. 15.3.Сходится. 15.4. Сходится.

15.5. Сходится. 15.6. Расползается. 15.7. Сходится. 15.8. Расползается.

15.9. Сходится. 15.10. Сходится. 15.11. Сходится. 15.12. Расползается.

Знакопеременные ряды

Другими Знакоположительные числовые ряды знакоположительным рядам являются знакопеременные ряды, так как исследование знакоотрицательных рядов сводится к знакоположительным рядам вынесением знака (-) за скобки.

Знакопеременные ряды бывают вида, когда часть членов ряда положительные, другая часть – отрицательные, и знакочередующиеся, когда знаки членов ряда чередуются, за положительным следует отрицательный член ряда, за отрицательным – положительный.

Определение. Знакопеременный ряд Знакоположительные числовые ряды именуется полностью сходящимся, если сходится ряд из абсолютных величин его членов.

Это определение позволяет исследование знакопеременного ряда свести к исследованию знакоположительного ряда.

Не сходящийся полностью ряд может сходиться условно, есть некоторое количество признаков условной сходимости знакопеременных рядов, но они не входят в программку реального курса. Ряд, естественно, может расходиться Знакоположительные числовые ряды, тогда предел его общего члена при должен быть не равен нулю.

Пример 1. . Это знакопеременный ряд вида, 1-ые 9 его членов положительные, 10-й член равен нулю, последующие 9 членов - отрицательные, потом снова нуль, опять 9 положительных членов и т.д. Разглядим ряд из модулей и сравним его со сходящимся рядом . Так как Знакоположительные числовые ряды , из первой аксиомы сопоставления знакоположительных рядов следует сходимость ряда , а, как следует, абсолютная сходимость знакопеременного ряда .

Пример 2. . Разглядим ряд , он сходится, как следует, знакочередующийся ряд сходится полностью.

Знакочередующиеся ряды

Полнее изучены знакочередующиеся ряды. Тут не осталось невыясненных вопросов, благодаря аксиоме Лейбница.

Аксиома Лейбница условной сходимости знакочередующегося ряда. Дан ряд , при этом . Степень Знакоположительные числовые ряды выбрана так, чтоб 1-ый член ряда был положителен, хотя это необязательно.

Если и , ряд сходится условно. Если , ряд расползается.

Подтверждение.

1) Разглядим частичную сумму ряда, содержащую первых его членов, и представим ее в последующем виде

.

Из первого условия аксиомы следует, что любая скобка положительна, как следует, . При увеличении на единицу Знакоположительные числовые ряды к частичной сумме добавляется пара членов, другими словами , при этом выражение в скобках – положительно. Итак, последовательность четных частичных сумм ряда однообразно растет с ростом .

Представим в другом виде

.

Так как все скобки снова положительны, ясно, что , другими словами последовательность четных частичных сумм не только лишь растет с ростом , да Знакоположительные числовые ряды и ограничена сверху первым членом ряда. В согласовании с известной аксиомой, не раз использовавшейся ранее, эта последовательность имеет конечный предел . Но этого происшествия недостаточно, чтоб утверждать, что ряд сходится. По правде, все четные частичные суммы ряда равны нулю, ряд не сходится, потому что нечетные суммы ряда равны 1. Итак, нужно Знакоположительные числовые ряды разглядеть нечетные суммы ряда. Разумеется, . Разглядим предел нечетных частичных сумм

,

так как , что следует из второго условия аксиомы. Таким макаром, последовательности четных и нечетных частичных сумм ряда имеют однообразный предел, равный , тогда ряд сходится, а его сумма равна .

2) Если , то не производится нужное условие сходимости хоть какого ряда, как следует, ряд Знакоположительные числовые ряды расползается. Аксиома подтверждена.

Итак, в отличие от знакоположительных рядов знакочередующиеся ряды могут сходиться полностью, условно и расходиться, при этом полностью сходящийся ряд сходится и условно. Но не напротив!

Отметим, что от порядка вычисления суммы условно сходящегося ряда (суммирование всех членов попорядку, суммирование поначалу четных, потом нечетных членов и т Знакоположительные числовые ряды.д.) может зависеть значение суммы ряда, другими словами сумма условно сходящегося ряда находится в зависимости от перестановки членов этого ряда. Потому сходимость названа условной. Чтоб получить верный ответ, нужно суммировать члены ряда попорядку, один за одним.

Примеры.

1. . Ряд из модулей сходится , как следует, рассматриваемый знакочередующийся ряд сходится полностью.

2. . Разглядим ряд из Знакоположительные числовые ряды абсолютных величин членов .

Он расползается . Как следует, исследуемый ряд не сходится полностью. Так как , ряд сходится условно.

3. . Так как , не производится и условие аксиомы Лейбница, и нужное условие сходимости ряда. Ряд расходящийся.

Исследование знакочередующегося ряда при помощи МАКСИМЫ

Исследуем ряд

Ряд из модулей знакочередующегося ряда сходится на Знакоположительные числовые ряды основании интегрального признака (признак Даламбера не работает), как следует, исследуемый ряд сходится полностью.

Разглядим ряд

Исследуемый ряд не сходится полностью, при всем этом признак Даламбера не работает, интегральный признак приводит к расходящемуся интегралу. И так как предел n – го члена равен 0, на основании аксиомы Лейбница ряд сходится условно.

Примеры для Знакоположительные числовые ряды самостоятельного решения

Изучить сходимость знакочередующихся рядов

15.13. , 15.14. , 15.15. , 15.16. .

Ответы. 15.13. Сходится полностью, 15.14. Сходится условно, 15.15. Расползается, 15.16. Сходится полностью.

Многофункциональные ряды

Если числовые ряды в текущее время употребляются, в главном для отработки методики исследования их сходимости, то многофункциональные ряды имеют широчайшее применение при решении разных уравнений, в особенности в случаях, когда их четкое решение выстроить не удается. Более того Знакоположительные числовые ряды, решение уравнения в виде ряда считается четким, если сходимость ряда подтверждена. Более удачно употребляются многофункциональные ряды при вычислении приближенных значений неких функций. Четкое значение даже таковой обычной функции, как , понятно только для нескольких значений аргумента ( и т.д.). Чтоб подсчитать значение этой функции в промежных точках, употребляется Знакоположительные числовые ряды представление в виде ряда. Кстати, при вычислении этой функции при помощи компьютера либо микрокалькулятора практически употребляется ее "разложение в ряд".

Широкую известность получили степенные ряды, ряд Фурье и разные его модификации.


zond-razgonyaemij-luchom-materii.html
zoni-dejstviya-publichnih-servitutov.html
zoni-i-operativnoe-vremya.html